כיצד לחשב את שטח מקבילית הבנויה על וקטורים

על שני ווקטורים לא קולינריים ולא נוזלים ניתן לבנות מקבילית. שני וקטורים אלה יתכווצו במקביל אם תשלב את מקורם בנקודה אחת. סיים את צידי הדמות.

מדריך הוראות

1

מצא את אורכי הווקטורים אם ניתנים הקואורדינטות שלהם. בואו, למשל, לווקטור A יהיו קואורדינטות (a1, a2) במישור. ואז אורך הווקטור A הוא | A | = √ (a1² + a2²). באופן דומה, אנו מוצאים את המודול של הווקטור B: | B | = √ (b1² + b2²), כאשר b1 ו- b2 הם הקואורדינטות של הווקטור B במישור.

2

שטח המקביל נמצא באמצעות הנוסחה S = | A | • | B | • sin (A ^ B), כאשר A ^ B הוא הזווית בין הווקטורים הנתונים A ו- B. ניתן למצוא את הסינוס דרך הקוסינוס באמצעות זהות טריגונומטרית בסיסית: sin²α + cos²α = 1. הקוסינוס יכול לבוא לידי ביטוי במונחים של המוצר הסקלרי של וקטורים הכתובים בקואורדינטות.

3

התוצר הסקלרי של וקטור A על ידי וקטור B מסומן על ידי (A, B). בהגדרה, הוא שווה ל (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). ובקואורדינטות, המוצר הסקלרי כתוב כך: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. מכאן אנו יכולים לבטא את קוסינוס של הזווית בין הווקטורים: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). במונה, המוצר הסקלרי; במכנה, אורכי הווקטורים.

4

כעת אנו יכולים לבטא את הסינוס מהזהות הטריגונומטרית העיקרית: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). אם נניח שהזווית α בין הווקטורים חדה, ניתן למחוק את המינוס עם הסינוס ולהשאיר רק את סימן הפלוס, מכיוון שהסינוס של הזווית החריפה יכול להיות רק חיובי (או אפס בזווית אפס, אבל כאן הזווית היא לא אפס, זה מוצג במצב אי-קולינריות של וקטורים).

5

עכשיו עלינו להחליף את הביטוי הקואורדינטתי לקוסינוס בנוסחת הסינוס. לאחר מכן, נותר רק לכתוב את התוצאה בנוסחת אזור המקביל. אם כל זה נעשה והביטוי המספרי מפושט, מסתבר ש- S = a1 • b2-a2 • b1. לפיכך, שטח המקביל שנבנה על הווקטורים A (a1, a2) ו- B (b1, b2) נמצא על ידי הנוסחה S = a1 • b2-a2 • b1.

6

הביטוי המתקבל הוא הקובע של המטריצה ​​המורכבת מקואורדינטות הווקטורים A ו- B: a1 a2b1 b2.

ז

אכן, בכדי להשיג דטרמיננט של מטריצה ​​של מימד שני, עלינו להכפיל את היסודות של האלכסון הראשי (a1, b2) ולחסוך מכך את התוצר של היסודות באלכסון הצדדי (a2, b1).