כיצד לפתור משוואות עם שורשים

לפעמים במשוואות ישנו סימן לשורש. לתלמידים רבים נראה כי קשה מאוד לפתור משוואות כאלה "עם שורשים" או, נכון יותר, משוואות לא הגיוניות, אך זה לא כך.

מדריך הוראות

1

בניגוד לסוגים אחרים של משוואות, למשל, מערכות משוואות ריבועיות או לינאריות, אין אלגוריתם סטנדרטי לפתרון משוואות עם שורשים, או ליתר דיוק, משוואות לא רציונליות. בכל מקרה ספציפי, יש צורך לבחור בשיטת הפיתרון המתאימה ביותר על סמך "המראה" ותכונות המשוואה.

העלאת חלקי המשוואה באותה מידה.

לרוב, כדי לפתור משוואות עם שורשים (משוואות לא הגיוניות), משתמשים בהגבהה של שני צידי המשוואה באותה מידה. ככלל, במידה השווה למידת השורש (בריבוע לשורש מרובע, קוביה לשורש מעוקב). יש לזכור כי כאשר מעלה את הצד השמאלי והימני של המשוואה במידה שווה, יתכן ויש לו שורשים "נוספים". לכן, במקרה זה, יש לבדוק את השורשים המתקבלים על ידי החלפתם במשוואה. יש להקדיש תשומת לב מיוחדת לפתרון משוואות עם שורשים ריבועים (אפילו) לטווח הערכים הקבילים של המשתנה (ODZ). לפעמים די באומדן ה- ODL בלבד בכדי לפתור או לפשט משמעותית את המשוואה.

דוגמא. לפתור את המשוואה:

√ (5x-16) = x-2

אנו מרובעים את שני צידי המשוואה:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², מאיפה אנו מקבלים ברציפות:

5x-16 = x²-4x + 4

h²-4x + 4-5x + 16 = 0

h²-9x + 20 = 0

בפתרון המשוואה הריבועית המתקבלת אנו מוצאים את שורשיה:

x = (9 ± √ (81-4 ​​* 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9 ± 1) / 2

x1 = 4, x2 = 5

באמצעות החלפת שני שורשים שנמצאו במשוואה המקורית, אנו משיגים את השוויון הנכון. לכן, שני המספרים הם פתרונות המשוואה.

2

שיטה להכנסת משתנה חדש.

לפעמים יותר נוח למצוא את שורשיה של "משוואה עם שורשים" (משוואה לא הגיונית) על ידי הצגת משתנים חדשים. למעשה, המהות של שיטה זו מצטמצמת פשוט לרשומה קומפקטית יותר של הפיתרון, כלומר במקום לכתוב ביטוי מגושם בכל פעם, הוא מוחלף על ידי אגדה.

דוגמא. פתרו את המשוואה: 2x + √x-3 = 0

אתה יכול לפתור משוואה זו על ידי ריבוע של שני הצדדים. עם זאת, החישובים עצמם ייראו מסורבלים למדי. עם הכנסת משתנה חדש, תהליך ההחלטה יתברר כאלגנטי בהרבה:

אנו מציגים משתנה חדש: y = √ x

ואז נקבל את המשוואה הריבועית הרגילה:

2y² + y-3 = 0, עם משתנה y.

בפתרון המשוואה המתקבלת אנו מוצאים שני שורשים:

y1 = 1 ו- y2 = -3 / 2, החלפת השורשים שנמצאו בביטוי למשתנה החדש (y), אנו משיגים:

√ x = 1 ו- √ x = -3 / 2.

מכיוון שערך השורש הריבועי אינו יכול להיות מספר שלילי (אם אינך נוגע באזור המספרים המורכבים), אנו מקבלים את הפיתרון היחיד:

x = 1.

פיתרון שורש מרובע