כיצד למצוא את שטח פלח מעגלי

אחת הבעיות הגיאומטריות הנפוצות היא לחשב את שטח הקטע המעגלי - החלק של המעגל הגובל באקורד ואת האקורד המקביל לקשת של מעגל.

שטח הקטע המעגלי שווה להבדל בין שטח המגזר המעגלי המקביל לבין שטח המשולש שנוצר על ידי הרדיוסים של הקטע המקביל לגזרה לבין האקורד הגובל בקטע.

דוגמא 1

אורך האקורד המתכווץ למעגל שווה לערך של. מידת הקשת המתאימה לאקורד היא 60 °. מצא את שטח הקטע המעגלי.

פיתרון

משולש הנוצר על ידי שני רדיוסים ואקורד הוא שולי שורות, כך שהגובה שנמשך מראש הזווית המרכזית לצד הצד של המשולש שנוצר על ידי האקורד יהיה גם הביזקטור של הזווית המרכזית, מחציתו והחציון, וחציו של האקורד. בידיעה כי סינוס הזווית במשולש עם זווית ישרה שווה ליחס של הצד הנגדי להיפוזה, אנו יכולים לחשב את הרדיוס:

חטא 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = א.

ניתן לחשב את שטח המגזר המתאים לזווית נתונה על ידי הנוסחה הבאה:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

שטח המשולש המקביל לגזרה מחושב באופן הבא:

S ▲ = 1/2 * אה, כאשר h הוא הגובה שנמשך מראש הזווית המרכזית לאקורד. לפי משפט פיתגורס, h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

בהתאם, S ▲ = √3 / 4 * a².

שטח הקטע, המחושב כ- Seg = Sc - S ▲, שווה ל:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

החלפת ערך מספרי במקום a, אתה יכול בקלות לחשב את הערך המספרי של אזור הקטע.

דוגמא 2

רדיוס המעגל שווה ל. מידת הקשת המקבילה לפלח היא 60 מעלות. מצא את שטח הקטע המעגלי.