כיצד לפתור מערכות משוואות

לא קשה לפתור את מערכת המשוואות על ידי שימוש בשיטות הבסיסיות לפתרון מערכות של משוואות לינאריות: שיטת התחלופה ושיטת ההוספה.

מדריך הוראות

1

הבה נבחן שיטות לפתרון מערכת משוואות באמצעות דוגמה למערכת של שתי משוואות לינאריות בעלות שני ערכים לא ידועים. באופן כללי, מערכת כזו נכתבת באופן הבא (משמאל המשוואות משולבות עם סוגר מתולתל):

גרזן + b = ג

dx + ey = f, איפה

a, b, c, d, e, f הם המקדמים (מספרים ספציפיים), ו- x ו- y, כרגיל, אינם ידועים. המספרים a, b, c, d נקראים מקדמים עבור אלמונים, ו- c ו- f נקראים מונחים חופשיים. הפיתרון למערכת משוואות שכזו נמצא בשתי שיטות עיקריות.

פתרון מערכת משוואות בשיטת החלפה.

1. אנו לוקחים את המשוואה הראשונה ומבטאים את אחד האלמונים (x) מבחינת המקדמים והשני לא ידוע (y):

x = (s-by) / א

2. החלף את הביטוי המתקבל ל- x למשוואה השנייה:

d (c-by) / a + ey = f

3. בפתרון המשוואה המתקבלת אנו מוצאים את הביטוי ל- y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. החלף את הביטוי שנוצר עבור y בביטוי עבור x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

דוגמה: עליך לפתור מערכת משוואות:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

מצא את הערך של x מהמשוואה הראשונה:

x = (2y + 4) / 3

החלף את הביטוי שנוצר למשוואה השנייה וקבל משוואה עם משתנה אחד (y):

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, מאיפה אנו מגיעים:

y = 1

כעת אנו מחליפים את הערך שנמצא של y בביטוי עבור המשתנה x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

תשובה: x = 2, y = 1.

2

הפיתרון של מערכת המשוואות בשיטת ההוספה (חיסור).

שיטה זו מצמצמת להכפלת שני צידי המשוואות במספרים (פרמטרים) כך שכתוצאה מכך מקדמי אחד המשתנים חופפים זה לזה (יתכן והסימן ההפוך).

במקרה הכללי, יש להכפיל את שני הצדדים של המשוואה הראשונה באמצעות (-d), ושני הצדדים של המשוואה השנייה על ידי a. כתוצאה מכך אנו מקבלים:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

הוספת המשוואות המתקבלות, אנו משיגים:

-bdu + aeu = -cd + af, מאיפה אנו מקבלים את הביטוי למשתנה y:

y = (af-cd) / (ae-bd), להחליף את הביטוי ל- y בכל משוואה של המערכת, אנו משיגים:

גרזן + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

מהמשוואה הזו אנו מוצאים את השני הלא ידוע:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

דוגמא. לפתור את מערכת המשוואות על ידי הוספה או חיסור:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

הכפל את המשוואה הראשונה ב- (-1) והשנייה ב- 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

הוספה (מונח אחר מונח) של שתי המשוואות, אנו משיגים:

11y = 11

איפה נגיע:

y = 1

אנו מחליפים את הערך המתקבל עבור y בכל אחת מהמשוואות, למשל לשנייה, אנו מקבלים:

3x + 9 = 15, מאיפה

x = 2

תשובה: x = 2, y = 1.